MazeGroup Research Institute/Maths/Triangles et propriétés
| Niveau du cours : 3ème, Seconde |
En mathématique un triangle est une figure géométrique plane (2D) composée de trois côtés et trois angles.
Note: La somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180°.
Il existe plusieurs types de triangles, qui sont classés en fonction de leurs côtés et/ou angles :
- Triangle équilatéral : Ces trois côtés sont de la même longueur ainsi que leurs angles qui ont donc la même mesure (60°).
- Triangle isocèle : Deux de ses côtés sont égaux ainsi que deux de ses angles ont la même mesure.
- Triangle quelconque/scalène : Tous ses côtés et angles sont différents.
- Triangle rectangle : Possède un angle droit (90°).
Triangles semblables
Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont les mêmes angles et que leurs côtés sont proportionnels.
Propriétés :
- Les triangles semblables ont les mêmes formes, mais peuvent être de tailles différentes.
- Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés homologues sont proportionnels.
Exemple :
Si un triangle a des côtés de longueurs 3 cm, 4 cm, 5 cm et un autre triangle a 6 cm, 8 cm, 10 cm, alors ces triangles sont semblables, car leurs longueurs sont dans le même rapport (multiplication par 2).
Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore s’applique uniquement aux triangles rectangles. Il permet d'établir une relation entre les longueurs des trois côtés du triangle, on note donc que: "Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés."
Formule (Utilisation) :
Si (On sais que): Le triangle est rectangle en A
Alors: On utilise le théorème de Pythagore
Donc: A² = B² + C²
Exemple :
On sais que: Le triangle est rectangle
Alors: On utilise le théorème de Pythagore
Donc:
Théorème de Thalès
Le théorème de Thalès permet de prouver qu'un triangle est proportionnel à un autre lorsqu'une droite parallèle à l'un des côtés coupe les deux autres côtés
Condition d'application :
Dans un triangle, si une droite parallèle à l'un des côtés coupe les deux autres côtés en des points distincts, alors les longueurs des segments sont proportionnelles.
Formule :
Si AB // CD alors :
Exemple :
Si un segment partage un triangle tel que :
- AM = 2 cm, MB = 3 cm
- AN = 4 cm, alors on trouve NC par :
Triangle rectangle et trigonométrie
Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques permettent de calculer des angles ou des longueurs de côtés.
Fonctions trigonométriques :
Si θ est un angle d'un triangle rectangle, alors :
- Sinus (sin) :
- Cosinus (cos) :
- Tangente (tan) :
Exemple :
Si un triangle rectangle a une hypoténuse de 5 cm et un côté opposé de 3 cm, alors :
Conclusion
Les triangles sont des figures fondamentales en géométrie avec des propriétés variées :
- Pythagore pour les longueurs dans un triangle rectangle.
- Thalès pour les proportions et les droites parallèles.
- Triangles semblables pour les figures de même forme mais de taille différente.
- Trigonométrie pour les angles et longueurs dans les triangles rectangles.
Ces concepts sont essentiels pour résoudre de nombreux problèmes en géométrie et en physique.
