MazeGroup Research Institute/Maths/Triangles et propriétés

Niveau du cours : 3ème, Seconde

En mathématique un triangle est une figure géométrique plane (2D) composée de trois côtés et trois angles.

Note: La somme des angles d’un triangle est toujours égale à $180^{\circ }$.

Il existe plusieurs types de triangles, qui sont classés en fonction de leurs côtés et/ou angles :

• Triangle équilatéral : Ses trois côtés sont de la même longueur ainsi que leurs angles qui ont donc la même mesure ($60^{\circ }$).
• Triangle isocèle : Deux de ses côtés sont égaux ainsi que deux de ses angles ont la même mesure.
• Triangle quelconque/scalène : Tous ses côtés et angles sont différents.
• Triangle rectangle : Possède un angle droit ($90^{\circ }$).

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Triangles semblables

Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont les mêmes angles et que leurs côtés sont proportionnels.

Propriétés

• Les triangles semblables ont les mêmes formes, mais peuvent être de tailles différentes.
• Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés homologues sont proportionnels.

Exemple

Si un triangle a des côtés de longueurs 3 cm, 4 cm, 5 cm et un autre triangle a 6 cm, 8 cm, 10 cm, alors ces triangles sont semblables, car leurs longueurs sont dans le même rapport (multiplication par 2).

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Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore s’applique uniquement aux triangles rectangles. Il permet d'établir une relation entre les longueurs des trois côtés du triangle donc de connaître une longueur du triangle à condition que les deux autres longueur soit connues. On note donc que: "Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés."

Formule (Utilisation)

Si (on sais que): Le triangle est rectangle en $A$

Alors: On utilise le théorème de Pythagore

Donc: $b^{2}=c^{2}+a^{2}$

Exemple (Si la valeur recherché est l'hypoténuse)

On cherche la valeur de b

On sais que: Le triangle est rectangle

Alors: On utilise le théorème de Pythagore

Donc:

• $b^{2}=c^{2}+a^{2}$
• $b^{2}=4^{2}+3^{2}$
• $b^{2}=16+9$
• $b^{2}=25$
• $b={\sqrt {25}}$
• $b=5$

D'après le théorème de Pythagore la longueur $b=5$.

Note: Si la valeur demander doit être exact et que la valeur obtenue est approcher alors la valeur sera la racine carré du résultat.

Exemple (Si la valeur recherché n'est pas l'hypoténuse)

On cherche la valeur de $c$.

On sais que: Le triangle est rectangle

Alors: On utilise le théorème de Pythagore

Donc:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}$

$5^{2}=3^{2}+c^{2}$

$25=9+c^{2}$

$c^{2}=25-9$

$c^{2}=16$

$c={\sqrt[{2}]{16}}$

$c=4$

D'après le théorème de Pythagore la longueur $c=4$

Réciproque et contraposé du théorème de Pythagore

La réciproque d'un théorème en mathématique permet de vérifier "une condition" d'un théorème. Dans le cas du théorème de Pythagore il faut que le triangle soit rectangle donc sa réciproque vas permettre de vérifier si le triangle est bien rectangle.

Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore il faudra avoir les trois longueur du triangle et avoir la longueur la plus grande.

Formule

On sais que:

• ABC est un triangle
• La longueur la plus longue est $b^{2}$

Si: $c^{2}+a^{2}=b^{2}$ alors le triangle est rectangle sinon il ne sera donc pas rectangle

Exemple

On sais que:

• ABC est un triangle
• La longueur la plus longue est $b^{2}$

Donc:

D'un côtés	D'un autre côtés
$c^{2}+a^{2}=4^{2}+3^{2}$ $c^{2}+a^{2}=16+9$ $c^{2}+a^{2}=25$ $c^{2}+a^{2}=16+9$	$b^{2}=5^{2}$ $b^{2}=25$

$c^{2}+a^{2}=b^{2}$ donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ABC$ est rectangle.

Note: Si le triangle n'est pas rectangle on ne parlera pas de réciproque mais plutôt de contraposée.

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Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès permet de trouver une longueur quand deux triangles (de n'importe quel type) sont proportionnelles et que deux de leurs côtés sont parallèles.

Formule

On sais que:

• $[AC]\parallel [BC]$
• $D\in [AB]$
• $E\in [BC]$

On utilise: Le théorème de Thales

Donc:

${\frac {BD}{BA}}={\frac {BE}{BC}}={\frac {DE}{AC}}$

Exemple

On cherche $DE$ et $BC$

On sais que:

• $[AC]\parallel [BC]$
• $D\in [AB]$
• $E\in [BC]$

On utilise: Le théorème de Thales

Donc:

${\frac {BD}{BA}}={\frac {BE}{BC}}={\frac {DE}{AC}}$

${\frac {2.24}{4.47}}={\frac {2.83}{BC}}={\frac {DE}{6}}$

Pour calculer les valeurs de $BC$ et $DE$ on va utiliser le produit en croix (proportionnalités).

On cherche BC:

$BC={\frac {BE*BA}{BD}}$

$BC={\frac {2.83*4.47}{2.24}}$

$BC\thickapprox 5.66$

On cherche $DE$ :

$DE={\frac {AC*BD}{BA}}$

$DE={\frac {6*2.24}{4.47}}$

$DE\approx 3$

Réciproque et contraposé du théorème de Pythagore

Comme pour la réciproque du théorème de Pythagore la réciproque du théorème de Thales vas permettre de vérifier si une de ses conditions est vrai, dans notre cas la réciproque vas permettre de vérifier si deux droites sont bien parallèles et ainsi vérifier si le triangle est proportionnelle.

Pour l'utiliser il vas nous falloir tous les côtés des triangles.

Formule

Si:

${\frac {BD}{BA}}={\frac {BE}{BC}}={\frac {DE}{AC}}$

Tous les coefficients de proportionnalités sont égaux.

Sinon: d'après la contraposé du théorème de Thales, les droites $DE$ et $AC$ ne sont pas parallèles.

On sais que:

• Les coefficients de proportionnalités sont égaux entre eux
• Les points BDA et BEC sont alignés dans le même ordre (Si ils ne sont pas alignés dans le même ordre alors les droites DE et AC ne sont pas parallèles)

On utilise: La réciproque du théorème de Thales

Donc: D'après la réciproque du théorème de Thales les droites DE et AC sont parallèles.

Exemple

${\frac {BD}{BA}}={\frac {2.24}{4.47}}\approx 0.5$

${\frac {BE}{BC}}={\frac {13.42}{26.83}}\approx 0.5$

${\frac {AC}{DE}}={\frac {6}{3}}=0.5$

Note: Dans cette exemple je met $\approx$ car mon outil ne m'affiche pas la valeur exacte, mais pensez bien à mettre les valeurs exactes quand vous rédigerez vos calculs.

Toute les coefficients de proportionnalités sont égaux

On sais que :

• Les coefficients de proportionnalités sont égaux entre eux
• Les points $BDA$ et $BEC$ sont alignés dans le même ordre

On utilise: La réciproque du théorème de Thales.

Donc: D'après la réciproque du théorème de Thales les droites $DE$ et $AC$ sont parallèles.

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Conclusion

Les triangles sont des figures fondamentales en géométrie avec des propriétés variées :

• Pythagore pour les longueurs dans un triangle rectangle.
• Thalès pour les proportions et les droites parallèles.
• Triangles semblables pour les figures de même forme mais de taille différente.

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