MazeGroup Research Institute/Maths/Triangles et propriétés

Niveau du cours : 3ème, Seconde

En mathématique un triangle est une figure géométrique plane (2D) composée de trois côtés et trois angles.

Note: La somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180°.

Il existe plusieurs types de triangles, qui sont classés en fonction de leurs côtés et/ou angles :

• Triangle équilatéral : Ces trois côtés sont de la même longueur ainsi que leurs angles qui ont donc la même mesure (60°).
• Triangle isocèle : Deux de ses côtés sont égaux ainsi que deux de ses angles ont la même mesure.
• Triangle quelconque/scalène : Tous ses côtés et angles sont différents.
• Triangle rectangle : Possède un angle droit (90°).

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Triangles semblables

Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont les mêmes angles et que leurs côtés sont proportionnels.

Propriétés

• Les triangles semblables ont les mêmes formes, mais peuvent être de tailles différentes.
• Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés homologues sont proportionnels.

Exemple

Si un triangle a des côtés de longueurs 3 cm, 4 cm, 5 cm et un autre triangle a 6 cm, 8 cm, 10 cm, alors ces triangles sont semblables, car leurs longueurs sont dans le même rapport (multiplication par 2).

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Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore s’applique uniquement aux triangles rectangles. Il permet d'établir une relation entre les longueurs des trois côtés du triangle, on note donc que: "Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés."

Formule (Utilisation)

Si (On sais que): Le triangle est rectangle en A

Alors: On utilise le théorème de Pythagore

Donc: a² = b² + c²

Exemple

On sais que: Le triangle est rectangle

Alors: On utilise le théorème de Pythagore

Donc:

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Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès permet de prouver qu'un triangle est proportionnel à un autre lorsqu'une droite parallèle à l'un des côtés coupe les deux autres côtés

Condition d'application

Dans un triangle, si une droite parallèle à l'un des côtés coupe les deux autres côtés en des points distincts, alors les longueurs des segments sont proportionnelles.

Formule

Si AB // CD alors :

Exemple

Si un segment partage un triangle tel que :

• AM = 2 cm, MB = 3 cm
• AN = 4 cm, alors on trouve NC par :

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Conclusion

Les triangles sont des figures fondamentales en géométrie avec des propriétés variées :

• Pythagore pour les longueurs dans un triangle rectangle.
• Thalès pour les proportions et les droites parallèles.
• Triangles semblables pour les figures de même forme mais de taille différente.
• Trigonométrie pour les angles et longueurs dans les triangles rectangles.

Ces concepts sont essentiels pour résoudre de nombreux problèmes en géométrie et en physique.